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miércoles, 6 de agosto de 2008

Errores de Medicion y su propagacion

En ciencias e ingeniería (experimentales) es imprescindible realizar mediciones, que consisten en obtener la magnitud fisica de algun atributo de objetos ( proceso, fenomeno, sustancia, etc). Ejemplos de algunos atributos son; longitud, masa, temperatura, sonsistencia. Para determinar el valor de una magnitud fisica se emplea un instrumento de medicion y un metodo de medicion. Asi tambien se requiere definir una unidad de medicion. [practica: definir el patron de medicion de longitud, masa, tiempo]

El termino error es sinonimo como incertidumbre experimental. Existen limitaciones instrumentales, fisicas y humanas que causan una desviacion del valor “verdadero” de las cantidades que se desean medir. Estas desviaciones son denominadas incertidumbres experimentales o errores en la medicion. El valor verdadero es aquel que obtendriamos si no existiesen errores en las mediciones, sin embargo esto
es imposible. Se puede mejorar el procedimiento de medicion pero jamas se puede eliminar el error, por lo que jamas podemos esperar el valor verdadero. Entre las varias limitaciones de medicion se tienen:

- la precision y exactitud de los instrumentos de medicion
- la interaccion del metodo de medicion con el mesurando
- la definicion del objeto a medir
- la influencia del observador que realiza la medicion.

En la presentacion y analisis de los reusltados de medicion se requiere expresar el grado de error o el limite probabilistico de la incertidumbre. El estudiante debe ser capaz de cuantificar el error asociado a las mediciones y analizar como se afectan los resultados (esto es propagacion de error). El error se puede concebir como la dispersion de las diferentes mediciones de un valor central.

TIPOS DE ERRORES

Los errores experimentales son de dos tipos: determinados (sistematicos) e indeterminados. Los errores determinados o sistematicos. Sistematico, significa que cuando se realizan mediciones repetidas, el error tiene la misma magnitud y el mismo signo algebraico, Determinado, significa que pueden ser reconocidos e identificados, por lo tanto la magnitud y el signo son determinables. Ejemplos:
un instrumento o escala no calibrada, una persona que no distingue colores correctos, el uso de un valor no correcto de una constante (o unidades no adecuadas).
Los errores indeterminados estan siempre presentes en las mediciones experimentales. En estos no existe la manera de determinar el signo ni la magnitud del error en mediciones repetidas. Los errores indeterminados resultan, en el proceso de medicion, en la obtencion de diferentes valores cuando se efectuan mediciones repetidas (asumiendo que todas las condiciones permanecen constantes). Las causas
en los errores indeterminados son diversas; error del operador o sesgo, condiciones experimentales fluctuantes, variabilidad inherente en los instrumentos de medicion, etc.
El efecto que tienen los errores indeterminados en los resultados se puede minimizar al efectuar mediciones repetidas y despues calcular el promedio. El promedio se considera una mejor representacion del valor verdadero que una sola medicion, ya que los errores de signo positivo y los de signo negativo tienden a compensarse en el calculo de la media.
Los errores determinados pueden ser mas importantes que los indeterminados por tres razones; no existe metodo seguro para descubrirlos e identificarlos al analizar los datos experimentales, sus efectos no pueden ser reducidos al promediar mediciones repetidas, los errores determinados tienen la misma magnitud y signo para cada medicion en un conjunto de mediciones repetidas, por lo que no tienden a cancelarse los errores negativos y los positivos.

EXPRESION DEL ERROR

Se ha mencionado que el error en la medicion esta asociado al concepto de incertidumbre. Se desea expresar el grado de error en las mediciones o el limite probabilistico de la incertidumbre.
Conceptualmente se concibe el error como la dispersion de las diferentes mediciones de un valor central.
Esto se expresa como:
x ± Δx = (x Δx)

< x < (x +Δx)

Ej; 24.2 ± .8 = (24.2 .8) < 24.2 < (24.2 +.8)

El error se puede expresar como:

- error absoluto є = Δx
- error relativo єx =Δx/x
- eror porcentual єx % = єx * 100

PRECISION Y EXACTITUD

La presicion de un instrumento o metodo de medicion esta asociado a la sensibilidad o menor variacion de la magnitud que se puede detectar con dicho instrumento o metodo.
La exactitud es una medida de la cercania de nuestro resultado con respecto al valor verdadero.
Una medicion con un error indeterminado relativamente pequeno se diece que tiene una alta precision.
Una medicion con un error pequeno indeterminado y determinado se dice que tiene una alta exactitud. La precision no implica necesariamente exactitud. Una medicion precisa puede ser inexacta si tiene un error determinado.

COMPARACION DE CANTIDADES

Desviacion:
Cuando se efectua un conjunto de mediciones repetidas de una cantidad fisica es util expresar la diferencia de cada medicion con respecto al promedio del conjunto. Esto se llama la desviacion de cada medicion de la media. La desviacion, en general, es la diferencia entre cada dato de un valor representativo del conjunto de datos (puede ser mediana, moda u otro). Las desviaciones se pueden expresar en valores realtivos o absolutos.

Diferencia:
Existen situaciones que requieren comparar mediciones o resultados que se estima tienen la misma confiabilidad, se puede expresar la diferencia en valores absolutos o relativos. Ejemplo; comparar dos mediciones independientes una misma cantidad, o comporar los resultados experimentales con los de otra persona o por otro procedimiento. El expresar la diferencia no implica el analizar y juzgar sobre la
cofiabilidad de uno u otro.

Discrepancia Experimental:
Cuando se compara una medicion (resultado) con otra que se considera mas confiable, a su diferencia se le llama la discrepancia experimental. Esta puede expresarse en valores absolutos o relativos(porcentuales). Se acostumbra expresar el porcentaje al dividir la discrepancia entre la cantidad mas confiable (mult. Por 100). Si la diferencia es muy pequena no importa (practicamente) que cantidad de las dos se coloca en el denominador.

PROCEDIMIENTO ESTADISTICO
Para la expresion del error, primero se obtiene un valor de tendencia central, para nuestros fines sera el promedio de un conjunto de mediciones repetidas. Para la dispersion (el eror) se calculara la desviacion estandar ( en ocaciones se emplea el promedio de las desviaciones).

Los pasos a seguir son:

- Se encuentra le media (promedio)
- Se encuentra la desviacion de cada observacion de la media
- Se suman los cuadrados de cada desviacion
- Se divide por el numero de datos menos uno (n – 1). Este resultado se denomina la varianza
- Se saca la raiz cuadrada de la varianza. Este resultado se denomina la desviacion estandar, el cual es el error asociado a un conjunto de mediciones.

Las formulas para lo anterior se expresa a continuacion; El promedio es la suma de las observaciones dividida por el numero de mediciones.
El promedio de las desviaciones se expresa en valor absoluto
La varianza es la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada observacion sobre la media. A esta suma se divide por numero de observaciones menos uno
La varianza tiene las dimensiones cuadraticas de las observaciones, por lo que es practica comun sacar la raiz cuadrada de la varianza y se obtiene la desviacion estandar.
Finalmente toda observacion experimental se expresa con el valor de la tendencia central, el promedio y el intervalo de confianza o error estandar (desviacion estandar).
Si consideramos que las desviaciones se distribuyen como una funcion de probabilidad de tipo normal (campana de Gauss) entonces se puede decir que el valor de cada medicion (x) se encuentra dentro del intervalo con una probabilidad de po = 0.68. Si expresamos el resultado con dos veces la desviacion estandar, entonces tenemos que el valor de x se encuentra en el intervalo con po = .93

PROPAGACION DE ERRORES
Supongamos que se miden dos dimensiones con sus respectivos errores (x ± Δ x) , (y ± Δy) y con las mismas unidades, pero se desea encontrar una tercera cantidad que es el resultado de operaciones aritemeticas de las dos primeras mediciones (x, y). Lo cual puede ser:

z = x + y
z = x – y
z = x*y
z = x/y

Por lo tanto se propaga para el resultado (z) a partir de los errores asociados a cada dimension original (x,y) . Finalmente se expresa el resultado respectivo con un error propagado.
Z ± Δz
Para encontrar el error propagado Δz se emplean diversas formulas, dependiendo de la operacion aritmetica empleada en el calculo de z. Los valores de Δx y Δy corresponden a la desviacion estandar respectiva.

Formulas de propagacion de errores:

Caso suma y resta

Z = x + y
Δz = { (Δx)2 + (Δy)2 } 1/2
Z = x y
Δz = { (Δx)2 + (Δy)2 } 1/2

Caso multiplicacion y division

Z = x * y
(Δz /Zz) = { (Δx/x)2 + (Δy/y)2 } 1/2
Z = x/y
(Δz/Z) = { (Δx/x)2 + (Δy/y)2 } 1/2

Actualizado en:

11:58
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