Errores de Medición y su Propagación

En ciencias e ingeniería (experimentales) es imprescindible realizar mediciones, que consisten en obtener la magnitud física de algún atributo de objetos (proceso, fenómeno, sustancia, etc.). Ejemplos de algunos atributos son; longitud, masa, temperatura, consistencia. Para determinar el valor de una magnitud física se emplea un instrumento de medición y un método de medición. Así también se requiere definir una unidad de medición.

El termino error es sinónimo como incertidumbre experimental. Existen limitaciones instrumentales, físicas y humanas que causan una desviación del valor “verdadero” de las cantidades que se desean medir. Estas desviaciones son denominadas incertidumbres experimentales o errores en la medición. El valor verdadero es aquel que obtendríamos si no existiesen errores en las mediciones, sin embargo esto es imposible. Se puede mejorar el procedimiento de medición pero jamás se puede eliminar el error, por lo que jamás podemos esperar el valor verdadero. Entre las varias limitaciones de medición se tienen:

  • La precisión y exactitud de los instrumentos de medición.
  • La interacción del método de medición con el mesurando.
  • La definición del objeto a medir.
  • La influencia del observador que realiza la medición.

En la presentación y análisis de los resultados de medición se requiere expresar el grado de error o el limite probabilístico de la incertidumbre. Se debe ser capaz de cuantificar el error asociado a las mediciones y analizar cómo se afectan los resultados (esto es propagación de error). El error se puede concebir como la dispersión de las diferentes mediciones de un valor central.

Tipos de Errores

Los errores experimentales son de dos tipos: determinados (sistemáticos) e indeterminados. Los errores determinados o sistemáticos.

Sistemático, significa que cuando se realizan mediciones repetidas, el error tiene la misma magnitud y el mismo signo algebraico, Determinado, significa que pueden ser reconocidos e identificados, por lo tanto la magnitud y el signo son determinables. Ejemplos: un instrumento o escala no calibrada, una persona que no distingue colores correctos, el uso de un valor no correcto de una constante (o unidades no adecuadas). Los errores indeterminados están siempre presentes en las mediciones experimentales. En estos no existe la manera de determinar el signo ni la magnitud del error en mediciones repetidas. Los errores indeterminados resultan, en el proceso de medición, en la obtención de diferentes valores cuando se efectúan mediciones repetidas (asumiendo que todas las condiciones permanecen constantes). Las causas en los errores indeterminados son diversas; error del operador o sesgo, condiciones experimentales fluctuantes, variabilidad inherente en los instrumentos de medición, etc.

El efecto que tienen los errores indeterminados en los resultados se puede minimizar al efectuar mediciones repetidas y después calcular el promedio. El promedio se considera una mejor representación del valor verdadero que una sola medición, ya que los errores de signo positivo y los de signo negativo tienden a compensarse en el cálculo de la media. Los errores determinados pueden ser más importantes que los indeterminados por tres razones; no existe método seguro para descubrirlos e identificarlos al analizar los datos experimentales, sus efectos no pueden ser reducidos al promediar mediciones repetidas, los errores determinados tienen la misma magnitud y signo para cada medición en un conjunto de mediciones repetidas, por lo que no tienden a cancelarse los errores negativos y los positivos.

Expresión del Error

Se ha mencionado que el error en la medición está asociado al concepto de incertidumbre. Se desea expresar el grado de error en las mediciones o el limite probabilístico de la incertidumbre. Conceptualmente se concibe el error como la dispersión de las diferentes mediciones de un valor central. Esto se expresa como:

Ej: 24.2 ± .8 = (24.2 – 0.8) < 24.2 < (24.2 + 0.8)

El error se puede expresar como:

  • Error Absoluto :
  • Error Relativo :
  • Error Porcentual :

Precisión y Exactitud

La precisión de un instrumento o método de medición está asociado a la sensibilidad o menor variación de la magnitud que se puede detectar con dicho instrumento o método. La exactitud es una medida de la cercanía de nuestro resultado con respecto al valor verdadero.

Una medición con un error indeterminado relativamente pequeño se dice que tiene una alta precisión. Una medición con un error pequeño indeterminado y determinado se dice que tiene una alta exactitud. La precisión no implica necesariamente exactitud. Una medición precisa puede ser inexacta si tiene un error determinado.

Comparación de Cantidades

Desviación:

Cuando se efectúa un conjunto de mediciones repetidas de una cantidad física es útil expresar la diferencia de cada medición con respecto al promedio del conjunto. Esto se llama la desviación de cada medición de la media. La desviación, en general, es la diferencia entre cada dato de un valor representativo del conjunto de datos (puede ser mediana, moda u otro). Las desviaciones se pueden expresar en valores relativos o absolutos.

Diferencia:

Existen situaciones que requieren comparar mediciones o resultados que se estima tienen la misma confiabilidad, se puede expresar la diferencia en valores absolutos o relativos. Ejemplo; comparar dos mediciones independientes una misma cantidad, o comparar los resultados experimentales con los de otra persona o por otro procedimiento. El expresar la diferencia no implica el analizar y juzgar sobre la
confiabilidad de uno u otro.

Discrepancia Experimental:

Cuando se compara una medición (resultado) con otra que se considera más confiable, a su diferencia se le llama la discrepancia experimental. Esta puede expresarse en valores absolutos o relativos (porcentuales). Se acostumbra expresar el porcentaje al dividir la discrepancia entre la cantidad más confiable (multiplicado por 100). Si la diferencia es muy pequeña no importa (prácticamente) que cantidad de las dos se coloca en el denominador.

Procedimiento Estadístico

Para la expresión del error, primero se obtiene un valor de tendencia central, para nuestros fines será el promedio de un conjunto de mediciones repetidas. Para la dispersión (el error) se calculara la desviación estándar (en ocasiones se emplea el promedio de las desviaciones).

Los pasos a seguir son:

  • Se encuentra le media (promedio).
  • Se encuentra la desviación de cada observación de la media.
  • Se suman los cuadrados de cada desviación.
  • Se divide por el número de datos menos uno (n – 1). Este resultado se denomina la varianza.
  • Se saca la raíz cuadrada de la varianza. Este resultado se denomina la desviación estándar, el cual es el error asociado a un conjunto de mediciones.

Las fórmulas para lo anterior se expresa a continuación; El promedio es la suma de las observaciones dividida por el número de mediciones. El promedio de las desviaciones se expresa en valor absoluto.
La varianza es la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada observación sobre la media. A esta suma se divide por número de observaciones menos uno.
La varianza tiene las dimensiones cuadráticas de las observaciones, por lo que es practica común sacar la raíz cuadrada de la varianza y se obtiene la desviación estándar.
Finalmente toda observación experimental se expresa con el valor de la tendencia central, el promedio y el intervalo de confianza o error estándar (desviación estándar).
Si consideramos que las desviaciones se distribuyen como una función de probabilidad de tipo normal (campana de Gauss) entonces se puede decir que el valor de cada medición (x) se encuentra dentro del intervalo con una probabilidad de 0.68. Si expresamos el resultado con dos veces la desviación estándar, entonces tenemos que el valor de x se encuentra en el intervalo con una probabilidad de 0.93

Propagación de Errores

Supongamos que se miden dos dimensiones con sus respectivos errores (x ± Δ x), (y ± Δy) y con las mismas unidades, pero se desea encontrar una tercera cantidad que es el resultado de operaciones aritméticas de las dos primeras mediciones (x, y). Lo cual puede ser:

Por lo tanto se propaga para el resultado (z) a partir de los errores asociados a cada dimensión original (x, y). Finalmente se expresa el resultado respectivo con un error propagado.

Para encontrar el error propagado Δz se emplean diversas fórmulas, dependiendo de la operación aritmética empleada en el cálculo de z. Los valores de Δx y Δy corresponden a la desviación estándar respectiva.

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